KaTeX 综合渲染测试

这个页面用于测试博客对 KaTeX 的完整支持。

说明： 这是一份渲染回归测试文件，不是公式语法大全。每个小节针对一个具体的共存或边界问题，打开页面后应能快速判断当前测试是否通过。

测试目标包括：

• 行内 / 块级定界符
• 常用数学语法
• 真实数学与物理公式
• 与普通 Markdown 的混合排版
• 列表、引用、表格中的公式
• 与 Mermaid 的共存
• 错误隔离
• 边界与移动端排版
• 综合真实文章场景

1. Basic Delimiters（基础定界符）

测试目标： 两套行内定界符（$...$ 与 \(...\)）和两套块级定界符（$$...$$ 与 \[...\]）都能被识别，且简单公式渲染正确。

1.1 行内公式：$…$

最简单的行内公式是 $a + b = c$。

• 简单公式：质能方程 $E = mc^2$ 是相对论的核心结论。
• Greek 字母：$\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\theta$、$\pi$、$\omega$ 都应正常显示。
• 上标：$x^2 + y^2 = z^2$。
• 下标：$a_1, a_2, \ldots, a_n$。
• 分数：$\frac{a+b}{a-b}$。

1.2 行内公式：(…)

另一套行内定界符也必须可用：(E = mc^2)。

• 简单公式：(F = ma)
• Greek 字母：(\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2})
• 上标：(e^{i\pi} + 1 = 0)
• 下标：(v_0) 与 (v_t) 表示初速度和末速度。
• 分数：(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1})

同一行混用两套定界符：$x^2$ 与 (x_0) 都应渲染为公式，而不是原样输出定界符。

1.3 块级公式：$$…$$

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

多行形式的方程组：

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 12 \ 4x - y = 5 \end{cases} $$

较复杂的块级公式：

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2},dx = \sqrt{\pi} $$

1.4 块级公式：[...]

[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} ]

多行对齐形式：

[ \begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \ (a-b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \end{aligned} ]

2. Common Syntax（常用 KaTeX 语法）

测试目标： 覆盖博客日常数学内容中可能出现的主要命令。重点是常见、实际可用的数学表达，而不是堆砌罕见语法。

2.1 上标 / 下标

$$ x_i^2,\quad a_{n+1},\quad x^{2}{i},\quad p{\text{max}} $$

2.2 分数

$$ \frac{a}{b},\qquad \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}},\qquad \frac{x^2+1}{x-1} $$

2.3 根号

$$ \sqrt{2},\qquad \sqrt[3]{x},\qquad \sqrt{x^2+y^2} $$

2.4 指数与对数

$$ e^x,\qquad a^b,\qquad \ln x,\qquad \log_2 8 = 3,\qquad \lg 100 = 2 $$

2.5 Greek 字母

$$ \alpha;\beta;\gamma;\delta;\epsilon;\theta;\lambda;\mu;\pi;\rho;\sigma;\tau;\phi;\omega;\Omega;\Delta;\Sigma $$

2.6 向量

$$ \vec{a},\qquad \mathbf{F},\qquad \hat{n},\qquad \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $$

2.7 求和

$$ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 2 $$

2.8 连乘

$$ \prod_{i=1}^{n} i = n!,\qquad \prod_{k=1}^{4} k = 24 $$

2.9 积分

$$ \int_0^1 x^2,dx = \frac{1}{3},\qquad \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r},\qquad \iint_D f(x,y),dA $$

2.10 极限

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e $$

2.11 极值

$$ \max_{x \in [0,1]} x(1-x) = \frac{1}{4},\qquad \min_{x > 0} \left(x + \frac{1}{x}\right) = 2 $$

2.12 矩阵

$$ \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix},\qquad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix},\qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{vmatrix} $$

2.13 行列式

$$ \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc $$

2.14 分段函数

$$ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ -x, & x < 0 \end{cases} $$

2.15 二项式

$$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad (x+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k $$

2.16 各种括号

$$ (a+b),\quad [a+b],\quad {a+b},\quad |a+b|,\quad \left( \frac{a}{b} \right),\quad \left{ \frac{a}{b} \right},\quad \left[ \frac{a}{b} \right],\quad \left| \vec{v} \right| $$

2.17 多行对齐公式

$$ \begin{aligned} \sin(2x) &= 2\sin x \cos x \ \cos(2x) &= \cos^2 x - \sin^2 x \ \tan(2x) &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} \end{aligned} $$

3. Mathematics and Physics（真实数学与物理公式）

测试目标： 使用来自高中数学、物理以及大学基础课程的真实公式，测试不同复杂度、不同宽度的公式在正文中的表现。

3.1 二次函数

二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$，判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 决定根的个数。

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

3.2 三角函数

同角关系 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，正切定义 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$，以及和角公式：

$$ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $$

3.3 导数

幂函数求导 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$，三角函数求导 $(\sin x)’ = \cos x$，链式法则：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$

3.4 积分

不定积分 $\int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），定积分的牛顿-莱布尼茨公式：

$$ \int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a) $$

3.5 概率

条件概率 $P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，数学期望 $E(X) = \sum_i x_i p_i$，正态分布密度函数：

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi},\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$

3.6 向量

向量加法 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$，点积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，叉积模长：

$$ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta $$

3.7 牛顿第二定律

物体所受合外力等于质量与加速度的乘积：

$$ F = ma $$

3.8 动能

质量为 $m$、速度为 $v$ 的物体，其动能为：

$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $$

3.9 动量

动量定义 $p = mv$，碰撞中的动量守恒：

$$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1’ + m_2 v_2' $$

3.10 电场

点电荷 $Q$ 在距离 $r$ 处产生的电场强度与电荷受到的电场力：

$$ E = k\frac{Q}{r^2}, \qquad F = qE $$

3.11 电势

点电荷的电势 $V = k\frac{Q}{r}$，电场力做功与电势差的关系：

$$ W_{AB} = q U_{AB} = q(V_A - V_B) $$

3.12 电阻

电阻定律 $R = \rho\frac{L}{S}$，欧姆定律 $I = \frac{U}{R}$，以及电功率：

$$ P = UI = I^2 R = \frac{U^2}{R} $$

3.13 电磁感应

法拉第电磁感应定律，磁通量 $\Phi = BS\cos\theta$ 的变化产生感应电动势：

$$ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} $$

3.14 相对论

质能方程与相对论动能：

$$ E = mc^2, \qquad E_k = (\gamma - 1)mc^2, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} $$

4. Markdown Compatibility（Markdown 混合测试）

测试目标： 公式与普通 Markdown 元素组合时，双方都保持原有语义，公式不吞掉周边文本，Markdown 样式也不破坏公式。

4.1 普通段落 + 行内公式

在匀变速直线运动中，位移与时间的关系是 $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$，其中 $v_0$ 表示初速度，$a$ 表示加速度。把已知量代入后即可求出未知量，这是物理学习中最常见的计算方式之一。

导数的定义是 $f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，它把"瞬时变化率"变成了可以计算的表达式。

4.2 粗体文本 + 公式

勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$ 描述了直角三角形三边之间的关系。

能量守恒 表明系统的总能量 $E = E_k + E_p$ 保持不变。

4.3 斜体文本 + 公式

当 $n \to \infty$ 时，调和级数 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ 是发散的。

质量为 $m$ 的物体在重力作用下自由下落。

4.4 inline code + 公式

LaTeX 命令 \frac{a}{b} 对应渲染结果 $\frac{a}{b}$，而 \sqrt{x} 对应 $\sqrt{x}$。

行内代码 $E=mc^2$ 这里被反引号包裹，不应被当作公式渲染，应原样显示为代码。

4.5 链接 + 公式

欧拉恒等式 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 被誉为最美的数学公式，可参考 Euler’s identity。

更多渲染细节见本博客的 Mermaid 测试 页面，其中 $V = IR$ 仅作为行内公式示例出现。

4.6 标题附近的公式

质能关系 $E = mc^2$

标题下方紧跟块级公式：

$$ \Delta E = \Delta m \cdot c^2 $$

小节标题含公式 $F=ma$

标题中的公式也应被正确渲染，而不是显示原始的 $ 符号。

4.7 中文 + 公式

根据动能定理，合外力对物体做的功等于物体动能的变化量，即 $W = \Delta E_k$。当拉力 $F$ 与摩擦力 $f$ 同时作用时，合力为 $F_{\text{合}} = F - f$。

4.8 英文 + 公式

Newton’s second law states that the net force $F$ equals mass $m$ times acceleration $a$, written as $F = ma$. The kinetic energy is given by $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

4.9 中文标点紧邻公式

因此，$F = ma$，这就是牛顿第二定律；又因为 $W = Fs$，所以功等于力乘以位移。

当 $x > 0$ 时，函数 $f(x) = \ln x$ 单调递增；若 $x \leq 0$，则函数无定义。

4.10 连续出现多个行内公式

由 $F = ma$、$W = Fs$ 和 $P = \frac{W}{t}$ 可以逐步推出 $P = Fv$，进而得到 $P = Fv\cos\theta$。

三个公式连续出现时，$a^2$、$b^2$、$c^2$ 之间的间距与普通文本间距应保持一致。

5. Lists（列表测试）

测试目标： 公式出现在无序列表、有序列表和多层嵌套列表中，行内与块级公式都不破坏列表结构。

5.1 无序列表中的公式

常见物理公式包括：

• 牛顿第二定律 $F = ma$
• 动能 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$
• 动量 $p = mv$
• 电场力 $F = qE$

5.2 有序列表中的公式

推导步骤：

1. 由 $F = ma$ 出发；
2. 结合 $W = Fs$ 得到 $W = mas$；
3. 利用 $v^2 - v_0^2 = 2as$ 消去加速度；
4. 最终得到动能定理 $W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$。

5.3 嵌套列表中的公式

• 数学
  • 二次方程求根公式： $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
  • 判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$
  • 韦达定理：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$
• 物理
  • 牛顿第二定律 $F = ma$
  • 匀变速位移公式： $$ s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 $$
  • 动量守恒： $$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1’ + m_2 v_2' $$

6. Blockquotes（引用块测试）

测试目标： 引用块内出现行内公式、块级公式和多行引用时，引用样式与公式渲染互不干扰。引用块内容区域通常更窄，同时兼测窄栏排版。

6.1 引用中的行内公式

引用文本，其中包含 $E = mc^2$。

6.2 引用中的块级公式

牛顿第二定律可以写成：

$$ F = ma $$

这是经典力学的基石。

6.3 多行引用

第一行引用，包含公式 $p = mv$，表示动量等于质量乘以速度。

第二行引用，包含公式 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$，表示动能与速度的平方成正比。

第三行引用，包含较长的行内公式 $\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$，用于测试窄区域中的长公式表现。

引用块之后的普通段落应正常显示：$a + b = c$。

7. Tables（表格测试）

测试目标： 表格是重点测试项。观察 KaTeX 是否破坏表格结构、列宽和横向滚动，长公式是否被截断。

7.1 表格 A：行内公式

7.2 表格 B：复杂内容

7.3 兼容性探索：表格单元格中的块级公式

以下单元格使用块级定界符，属于兼容性探索，不同 Markdown 解析器对这种结构的处理可能不同，不作为核心功能要求：

若上述表格结构异常（错列、撑破列宽、单元格内容丢失），属可接受的兼容性问题；核心要求是表格 A 与表格 B 不被破坏，且表格之后的内容正常渲染。

8. Mermaid Compatibility（Mermaid 兼容性测试）

测试目标： KaTeX 的处理不能破坏 Mermaid，Mermaid 的处理也不能破坏 KaTeX。本节不要求 Mermaid 本身支持数学公式，只测试两者的共存。

8.1 Mermaid 之前的公式

在打开图表之前，先看一个行内公式 $E = mc^2$ 和一个块级公式：

$$ F = ma $$

8.2 普通 Mermaid 图表

flowchart LR
    A[Markdown 源文件] --> B[Hugo 构建]
    B --> C[HTML 页面]
    C --> D[浏览器渲染]
    D --> E{公式与图表正常?}
    E -->|是| F[测试通过]
    E -->|否| G[排查问题]

8.3 Mermaid 之后的公式

图表之后紧跟行内公式 $a^2 + b^2 = c^2$，以及块级公式：

$$ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} $$

Mermaid 应正常显示，且下方公式应正常渲染，两者互不影响。

8.4 块级公式与 Mermaid 紧邻

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

flowchart TD
    S[开始] --> P[计算极限]
    P --> Q{结果等于 1?}
    Q -->|是| OK[正确]
    Q -->|否| ERR[检查步骤]
    ERR --> P
    OK --> E[结束]

$$ \vec{F} = q\vec{E} $$

8.5 完整序列：普通 Markdown → KaTeX → Mermaid → KaTeX → 普通 Markdown

这一段是普通 Markdown 文本，介绍物理研究的一般流程。

下面是块级公式：

$$ W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} $$

中间插入一个 Mermaid 图表：

sequenceDiagram
    participant 学生 as 学生
    participant 书 as 课本
    participant 题 as 习题

    学生->>书: 学习公式
    书-->>学生: 返回推导过程
    学生->>题: 代入 $F=ma$ 求解
    题-->>学生: 返回答案

图表之后继续块级公式：

$$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $$

最后回到普通 Markdown 文本：这一段必须完整显示，说明 KaTeX 与 Mermaid 的处理都没有吞掉周边内容。

8.6 探索性案例：Mermaid 文本中的数学表达式

部分 Mermaid 图表类型允许在节点文本里写普通文本。这里仅做探索性尝试，不引入任何 Mermaid 扩展，也不作为通过条件：

flowchart LR
    A["已知 F=ma"] --> B["求 a=F/m"]
    B --> C["代入数值计算"]

若节点中的公式以原样文本显示，属正常现象。

9. Error Isolation（错误隔离测试）

测试目标： 这是必须通过的测试。一个 KaTeX 错误不能阻止后续文章内容继续渲染：错误公式之后的普通 Markdown、正常公式、图表都应照常显示。

9.1 正常内容开场

这里是正常内容，包含正常公式 $a + b = c$。

9.2 故意未闭合的行内公式

这里故意放置一个未闭合的公式：$E = mc^2 缺少右定界符，这个错误是故意的。

如果上面这行显示为原始文本或仅该公式渲染失败，都是可接受的；不可接受的是它导致后续整篇文章不再渲染。

9.3 不完整的命令

这个公式的命令不完整，缺少 \right 配对：$\left( x^2 + 1$。

这个公式的 \frac 缺少第二组参数：$\frac{1}$。

9.4 明显非法的语法

这个公式使用了不存在的命令：$\notacommand{x+y}$。

这个块级公式的花括号不配对：

$$ \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{ $$

这个公式混入了非法字符：$x @# y$。

9.5 错误公式之后的正常内容

这里是错误公式之后的正常内容。普通段落、粗体、斜体、行内代码 都应照常显示。

这里还有一个正常的块级公式：

$$ E = mc^2 $$

以及一个正常的行内公式 $\pi \approx 3.14159$。

9.6 错误之后的 Mermaid 图表

flowchart LR
    X[错误已隔离] --> Y[后续内容正常]
    Y --> Z[测试通过]

9.7 最后再来一段普通 Markdown

最后继续放置普通 Markdown：这是一个普通链接，这是一段带列表的文字：

• 第一条，公式 $F = ma$ 正常；
• 第二条，公式 $E = mc^2$ 正常；
• 第三条，无公式，纯文本。

本节通过标准： 从 9.5 开始到本节结束的全部内容完整渲染，说明单个 KaTeX 错误没有污染整个页面。

10. Edge Cases（边界与排版测试）

测试目标： 暴露渲染问题的边界情况：极短/极长行内公式、宽块级公式、紧邻标点与中文、异常空格，以及移动端横向溢出。

10.1 很短的行内公式

短公式 $x$、$y$、$1$ 应与周围文字基线对齐，不应出现明显偏移或裁剪。

10.2 很长的行内公式

较长的行内公式 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2},dx = \pi$ 出现在句子中间时，应随文字正常换行而不被截断，下面这句同样较长：$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 也应完整显示。

10.3 很宽的块级公式

下面这个公式故意设计得较宽，用于测试移动端横向溢出：

$$ \begin{aligned} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} &= c^2\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial r} - \frac{\mu}{\rho}\nabla^4\psi + \sigma E_x + \int_0^\infty \frac{e^{-x^2}}{1+x^2},dx \end{aligned} $$

再放一个宽矩阵：

$$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \ \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \ \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{pmatrix} $$

桌面端不应出现页面级横向滚动；移动端应可以优雅地处理（整体缩放或图表区域内部滚动均可）。

10.4 连续两个公式

第一个公式 $a^2 + b^2 = c^2$ 紧跟第二个公式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，中间只有普通文字连接。

连续两个块级公式：

$$ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)} $$

$$ g(x) = \int_0^x f(t),dt $$

10.5 公式与中文文字紧邻

当$x>0$时，$f(x)=\ln x$单调递增，这里公式前后没有空格。

函数$g(x)=e^x$的导数等于它自身，同样没有空格。

10.6 公式与标点紧邻

即$f(x)=x^2$，这是一个抛物线。（公式紧邻中文逗号）

结果为$P=UI$。（公式紧邻句号）

已知$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,4)$，求夹角。（公式紧邻顿号）

10.7 公式前后存在多个空格

公式 $E=mc^2$ 前后各有多个空格，渲染后间距不应异常放大或塌陷。

10.8 窄内容区域中的长公式

窄区域（引用块）中的较长公式：$\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t),dt\right) = f(x)$，观察是否溢出引用块边界。

10.9 行尾以公式结尾

这一行以公式结尾 $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$

下一行以公式开头 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 是洛伦兹因子。

11. Integrated Article Scenario（综合场景）

测试目标： 以一篇真实博客文章的形态，把标题、段落、行内/块级公式、列表、引用、表格、Mermaid 混合在一起，检验整体阅读体验。本节应读起来像文章，而不是测试代码堆。

从牛顿力学到现代物理

1687 年，牛顿在《自然哲学的数学原理》中给出了三大运动定律，其中第二定律 $F = ma$ 把"力"和"运动"第一次用同一个方程联系起来。从此，描述物体的运动变成了一道数学题。

经典力学的框架

在牛顿的框架里，只要知道物体的受力情况，就能通过加速度求出它未来的位置。匀变速直线运动的位移公式就是这一思路的直接产物：

$$ s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 $$

能量的视角则更加简洁。动能 $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ 与势能 $E_p = mgh$ 相互转化，总量保持不变：

$$ E_k + E_p = \text{常量} $$

引用麦克斯韦的评价可以说明当时的乐观情绪：

自然界的一切力都可以归结为引力与电磁力，剩下的只是计算问题。

这里的"计算"，本质上就是求解形如 $F = ma$ 的方程。

电磁学的统一

电与磁的规律同样简洁。库仑定律描述电荷间的作用力，法拉第定律则揭示了磁通量变化产生感应电动势：

$$ F = k\frac{q_1 q_2}{r^2}, \qquad \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} $$

下图总结了经典物理几条主线之间的关系：

flowchart TD
    N[牛顿力学 F=ma] --> M[麦克斯韦电磁学]
    M --> R[热力学与统计力学]
    R --> A[19 世纪末的物理学天空]
    A --> C{两朵乌云}
    C --> R1[黑体辐射]
    C --> R2[光速不变]
    R1 --> Q[量子力学]
    R2 --> S[狭义相对论]

走向相对论与量子力学

20 世纪初，两个问题动摇了经典物理。为了解释光速不变，爱因斯坦建立了狭义相对论，质能关系 $E = mc^2$ 表明质量本身就是一种能量；更一般地，物体的总能量为：

$$ E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma mc^2 $$

另一朵乌云催生了量子力学。海森堡不确定性原理指出，位置与动量无法同时精确测定：

$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

三种理论的对比

小结

回顾这段历程，可以看到一条清晰的线索：

1. 牛顿用 $F = ma$ 统一了地上的运动；
2. 麦克斯韦用一组方程统一了电与磁；
3. 爱因斯坦用 $E = mc^2$ 统一了质量与能量；
4. 量子力学则告诉我们，$E = h\nu$ 是微观世界能量的最小单位。

理论在演进，但物理学的美感始终如一——用尽可能少的假设，解释尽可能多的现象。正如 $e^{i\pi} + 1 = 0$ 把五个最重要的常数写进一个等式，好的物理公式也应当如此。

测试检查清单

完成页面加载后，依次检查：

• $...$ 与 \(...\) 行内定界符均正常
• $$...$$ 与 \[...\] 块级定界符均正常
• 上标、下标、分数、根号、Greek 字母正常
• 求和、连乘、积分、极限、极值正常
• 矩阵、行列式、分段函数、二项式正常
• 括号自动伸缩与多行对齐正常
• 第 3 节全部真实公式渲染正确
• 粗体、斜体、链接、行内代码与公式混排正常
• 行内代码中的 $...$ 不被当作公式渲染
• 中文、英文、标点紧邻公式时排版正常
• 连续多个行内公式间距正常
• 无序 / 有序 / 嵌套列表结构不被公式破坏
• 引用块中的行内与块级公式正常
• 窄引用区域中的长公式不溢出
• 表格 A（行内公式）结构与列宽正常
• 表格 B（复杂内容）结构正常
• 表格 7.3 中块级公式单元格的表现可接受
• Mermaid 图表前后的公式均正常
• Mermaid 图表本身未被 KaTeX 处理破坏
• 「普通 Markdown → KaTeX → Mermaid → KaTeX → 普通 Markdown」完整显示
• 错误公式之后的段落、列表、公式、图表全部正常
• 一个 KaTeX 错误没有阻止文章后续渲染
• 极短 / 极长行内公式正常
• 宽块级公式在桌面端不造成页面横向滚动
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